九章算术卷第七 盈不足
作者：古本晋刘徽注〔一〕今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？
荅曰：七人，物价五十三。
〔二〕今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。问人数、鸡价各几何？
荅曰：九人，鸡价七十。
〔三〕今有共买璡\，人出半，盈四；人出少半，不足三。问人数、璡\价各几何？荅曰：四十二人，
璡\价十七。〔四〕今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十。问家数、牛价各几何？荅曰：一百二十六家，
牛价三千七百五十。
盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。令维乘所出率，并以为实。并盈、不足为法。实如法而一。有分者，通之。盈不足相与同其买物者，置所出率，以少减多，余，以约法、实。实为物价，法为人数。其一术曰：并盈不足为实。以所出率以少减多，余为法。实如法得一人。以所出率乘之，减盈、增不足即物价。
〔五〕今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各几何？
荅曰：三十三人。金价九千八百。
〔六〕今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。问人数、羊价各几何？
荅曰：二十一人，
羊价一百五十。
两盈、两不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。令维乘所出率，以少减多，余为实。两盈、两不足以少减多，余为法。实如法而一。有分者通之。两盈、两不足相与同其买物者，置所出率，以少减多，余，以约法实，实为物价，法为人数。
其一术曰：置所出率，以少减多，余为法。两盈、两不足，以少减多，余为实。实如法而一得人数。以所出率乘之，减盈、增不足，即物价。〔七〕今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足。问人数、豕价各几何？荅曰：一十人，
豕价九百。
〔八〕今有共买犬，人出五，不足九十；人出五十，適足。问人数、犬价各几何？
荅曰：二人，
犬价一百。盈、適足，不足、適足术曰：以盈及不足之数为实。置所出率，以少减多，余为法。实如法得一人。其求物价者，以適足乘人数得物价。
〔九〕今有米在十斗桶中，不知其数。满中添粟而舂之，得米七斗。问故米几何？
荅曰：二斗五升。
术曰：以盈不足术求之，假令故米二斗，不足二升。令之三斗，有余二升。
〔一０〕今有垣高九尺。瓜生其上，蔓日长七寸。瓠生其下，蔓日长一尺。问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？
荅曰：五日、十七分日之五。瓜长三尺七寸、十七分寸之一，
瓠长五尺二寸、十七分寸之十六。
术曰：假令五日，不足五寸。令之六日，有余一尺二寸。
〔一一〕今有蒲生一日，长三尺。莞生一日，长一尺。蒲生日自半。莞生日自倍。问几何日而长等？
荅曰：二日、十三分日之六。
各长四尺八寸、十三分寸之六。
术曰：假令二日，不足一尺五寸。令之三日，有余一尺七寸半。
〔一二〕今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。问几何日相逢？各穿几何？荅曰：二日、十七分日之二。
大鼠穿三尺四寸、十七分寸之十二，
小鼠穿一尺五寸、十七分寸之五。
术曰：假令二日，不足五寸。令之三日，有余三尺七寸半。
〔一三〕今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十。今將钱三十，得酒二斗。问醇、行酒各得几何？荅曰：醇酒二升半，
行酒一斗七升半。
术曰：假令醇酒五升，行酒一斗五升，有余一十。令之醇酒二升，行酒一斗八升，不足二。
〔一四〕今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛。问大、小器各容几何？
荅曰：大器容二十四分斛之十三，小器容二十四分斛之七。
术曰：假令大器五斗，小器亦五斗，盈一十斗。令之大器五斗五升，小器二斗五升，不足二斗。〔一五〕今有漆三得油四，油四和漆五。今有漆三斗，欲令分以易油，还自和余漆。问出漆、得油、和漆各几何？
荅曰：出漆一斗一升、四分升之一，
得油一斗五升，
和漆一斗八升，四分升之三。
术曰：假令出漆九升，不足六升。令之出漆一斗二升，有余二升。
〔一六〕今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两。今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤。问玉、石重各几何？
荅曰：玉一十四寸，重六斤二两。石一十三寸，重四斤十四两。
术曰：假令皆玉，多十三两。令之皆石，不足十四两。不足为玉，多为石。各以一寸之重乘之，得玉石之积重。
〔一七〕今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百。今并买一顷，价钱一万。问善、恶田各几何？
荅曰：善田一十二亩半，
恶田八十七亩半。术曰：假令善田二十亩，恶田八十亩，多一千七百一十四钱、七分钱之二。令之善田一十亩，恶田九十亩，不足五百七十一钱、七分钱之三。
〔一八〕今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重適等。交易其一，金轻十三两。问金、银一枚各重几何？
荅曰：金重二斤三两一十八銖，银重一斤十三两六銖。
术曰：假令黄金三斤，白银二斤、一十一分斤之五，不足四十九，於右行。令之黄金二斤，白银一斤、一十一分斤之七，多一十五於左行。以分母各乘其行內之数，以盈不足维乘所出率，并以为实。并盈不足为法。实如法，得黄金重。分母乘法以除，得银重。约之得分也。
〔一九〕今有良马与駑马发长安至齐。齐去长安三千里。良马初日行一百九十三里，日增十三里。駑马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐，復还迎駑马。问几何日相逢及各行几何？
荅曰：一十五日、一百九十一分日之一百三十五而相逢。良马行四千五百三十四里、一百九十一分里之四十六。
駑马行一千四百六十五里、一百九十一分里之一百四十五。术曰：假令十五日，不足三百三十七里半。令之十六日，多一百四十里。以盈、不足维乘假令之数，并而为实。并盈不足为法。实如法而一，得日数。不尽者，以等数除之而命分。
〔二０〕今有人持钱之蜀，贾利十三。初返归一万四千，次返归一万三千，次返归一万二千，次返归一万一千，后返归一万。凡五返归钱，本利俱尽。问本持钱及利各几何？
荅曰：本三万四百六十八钱、三十七万一千二百九十三分钱之八万四千八百七十六。利二万九千五百三十一钱、三十七万一千二百九十三分钱之二十八万六千四百一十七。
术曰：假令本钱三万，不足一千七百三十八钱半。令之四万，多三万五千三百九十钱八分。
荅曰：七人，物价五十三。
〔二〕今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。问人数、鸡价各几何？
荅曰：九人，鸡价七十。
〔三〕今有共买璡\，人出半，盈四；人出少半，不足三。问人数、璡\价各几何？荅曰：四十二人，
璡\价十七。〔四〕今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十。问家数、牛价各几何？荅曰：一百二十六家，
牛价三千七百五十。
盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。令维乘所出率，并以为实。并盈、不足为法。实如法而一。有分者，通之。盈不足相与同其买物者，置所出率，以少减多，余，以约法、实。实为物价，法为人数。其一术曰：并盈不足为实。以所出率以少减多，余为法。实如法得一人。以所出率乘之，减盈、增不足即物价。
〔五〕今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各几何？
荅曰：三十三人。金价九千八百。
〔六〕今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。问人数、羊价各几何？
荅曰：二十一人，
羊价一百五十。
两盈、两不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。令维乘所出率，以少减多，余为实。两盈、两不足以少减多，余为法。实如法而一。有分者通之。两盈、两不足相与同其买物者，置所出率，以少减多，余，以约法实，实为物价，法为人数。
其一术曰：置所出率，以少减多，余为法。两盈、两不足，以少减多，余为实。实如法而一得人数。以所出率乘之，减盈、增不足，即物价。〔七〕今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足。问人数、豕价各几何？荅曰：一十人，
豕价九百。
〔八〕今有共买犬，人出五，不足九十；人出五十，適足。问人数、犬价各几何？
荅曰：二人，
犬价一百。盈、適足，不足、適足术曰：以盈及不足之数为实。置所出率，以少减多，余为法。实如法得一人。其求物价者，以適足乘人数得物价。
〔九〕今有米在十斗桶中，不知其数。满中添粟而舂之，得米七斗。问故米几何？
荅曰：二斗五升。
术曰：以盈不足术求之，假令故米二斗，不足二升。令之三斗，有余二升。
〔一０〕今有垣高九尺。瓜生其上，蔓日长七寸。瓠生其下，蔓日长一尺。问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？
荅曰：五日、十七分日之五。瓜长三尺七寸、十七分寸之一，
瓠长五尺二寸、十七分寸之十六。
术曰：假令五日，不足五寸。令之六日，有余一尺二寸。
〔一一〕今有蒲生一日，长三尺。莞生一日，长一尺。蒲生日自半。莞生日自倍。问几何日而长等？
荅曰：二日、十三分日之六。
各长四尺八寸、十三分寸之六。
术曰：假令二日，不足一尺五寸。令之三日，有余一尺七寸半。
〔一二〕今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。问几何日相逢？各穿几何？荅曰：二日、十七分日之二。
大鼠穿三尺四寸、十七分寸之十二，
小鼠穿一尺五寸、十七分寸之五。
术曰：假令二日，不足五寸。令之三日，有余三尺七寸半。
〔一三〕今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十。今將钱三十，得酒二斗。问醇、行酒各得几何？荅曰：醇酒二升半，
行酒一斗七升半。
术曰：假令醇酒五升，行酒一斗五升，有余一十。令之醇酒二升，行酒一斗八升，不足二。
〔一四〕今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛。问大、小器各容几何？
荅曰：大器容二十四分斛之十三，小器容二十四分斛之七。
术曰：假令大器五斗，小器亦五斗，盈一十斗。令之大器五斗五升，小器二斗五升，不足二斗。〔一五〕今有漆三得油四，油四和漆五。今有漆三斗，欲令分以易油，还自和余漆。问出漆、得油、和漆各几何？
荅曰：出漆一斗一升、四分升之一，
得油一斗五升，
和漆一斗八升，四分升之三。
术曰：假令出漆九升，不足六升。令之出漆一斗二升，有余二升。
〔一六〕今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两。今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤。问玉、石重各几何？
荅曰：玉一十四寸，重六斤二两。石一十三寸，重四斤十四两。
术曰：假令皆玉，多十三两。令之皆石，不足十四两。不足为玉，多为石。各以一寸之重乘之，得玉石之积重。
〔一七〕今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百。今并买一顷，价钱一万。问善、恶田各几何？
荅曰：善田一十二亩半，
恶田八十七亩半。术曰：假令善田二十亩，恶田八十亩，多一千七百一十四钱、七分钱之二。令之善田一十亩，恶田九十亩，不足五百七十一钱、七分钱之三。
〔一八〕今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重適等。交易其一，金轻十三两。问金、银一枚各重几何？
荅曰：金重二斤三两一十八銖，银重一斤十三两六銖。
术曰：假令黄金三斤，白银二斤、一十一分斤之五，不足四十九，於右行。令之黄金二斤，白银一斤、一十一分斤之七，多一十五於左行。以分母各乘其行內之数，以盈不足维乘所出率，并以为实。并盈不足为法。实如法，得黄金重。分母乘法以除，得银重。约之得分也。
〔一九〕今有良马与駑马发长安至齐。齐去长安三千里。良马初日行一百九十三里，日增十三里。駑马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐，復还迎駑马。问几何日相逢及各行几何？
荅曰：一十五日、一百九十一分日之一百三十五而相逢。良马行四千五百三十四里、一百九十一分里之四十六。
駑马行一千四百六十五里、一百九十一分里之一百四十五。术曰：假令十五日，不足三百三十七里半。令之十六日，多一百四十里。以盈、不足维乘假令之数，并而为实。并盈不足为法。实如法而一，得日数。不尽者，以等数除之而命分。
〔二０〕今有人持钱之蜀，贾利十三。初返归一万四千，次返归一万三千，次返归一万二千，次返归一万一千，后返归一万。凡五返归钱，本利俱尽。问本持钱及利各几何？
荅曰：本三万四百六十八钱、三十七万一千二百九十三分钱之八万四千八百七十六。利二万九千五百三十一钱、三十七万一千二百九十三分钱之二十八万六千四百一十七。
术曰：假令本钱三万，不足一千七百三十八钱半。令之四万，多三万五千三百九十钱八分。