志第八 律历下
作者：房玄龄魏尚书郎杨伟表曰：“臣览载籍，断考历数，时以纪农，月以纪事，其所由来，遐而尚矣。乃自少昊，则玄鸟司分，颛顼、帝喾，则重黎司天；唐帝、虞舜，则羲和掌日，三代因之，则世有日官。日官司历，则颁之诸侯，诸侯受之，则颁于境内。夏后之世，羲和湎淫，废时乱日，则《书》载《胤征》。由此观之，审农时而重人事，历代然之也。逮至周室既衰，战国横鹜，告朔之羊，废而不绍，登台之礼，灭而不遵，闰分乖次而不识，孟陬失纪而莫悟，大火犹西流，而怪蛰虫之不藏也。是时也，天子不协时，司历不书日。诸侯不受职，日御不分朔，人事不恤，废弃农时。仲尼之拨乱于《春秋》，托褒贬纠正，司历失闰，则讥而书之，登台颁朔，则谓之有礼。自此以降，暨于秦汉，乃复以孟冬为岁首，闰为后九月，中节乖错，时月纰缪。加时后天，蚀不在朔，累载相袭，久而不革也。至武帝元封七年，始乃悟其缪焉，于是改正朔，更历数，使大才通人，更造《太初历》，校中朔所差，以正闰分，课中星得度，以考疏密，以建寅之月为正朔，以黄钟之月为历初。其历斗分太多，后遂疏阔。至元和二年，复用《四分历》，施而行之，至于今日，考察日蚀，率常在晦，是则斗分太多，故先密后疏而不可用也。是以臣前以制典余日，推考天路，稽之前典，验之以蚀朔，详而精之，更建密历，则不先不后，古今中天。以昔在唐帝，协日正时，允厘百工，咸熙庶绩也。欲使当今国之典礼，凡百制度，皆韬合往古，郁然备足，乃改正朔，更历数，以大吕之月为岁首，以建子之月为历初。臣以为昔在帝代，则法曰《颛顼》，曩自轩辕，则历曰《黄帝》，暨至汉之孝武，革正朔，更历数，改元曰太初，因名《太初历》。今改元为景初，宜曰《景初历》。臣之所建《景初历》，法数则约要，施用则近密，治之则省功，学之则易知。虽复使研桑心算，隶首运筹，重黎司晷，羲和察景，以考天路，步验日月，究极精微，尽术数之极者，皆未能并臣如此之妙也。是以累代历数，皆疏而不密，自黄帝以来，常改革不已。”壬辰以来，至景初元年丁已岁，积四千四十六，算上。此元以天正建子黄钟之月为历初，元首之岁，夜半甲子朔旦冬至。
元法，万一千五十八。
纪法，千八百四十三。纪月，二万二千七百九十五。
章岁。十九。章月，二百三十五。
章闰，七。
通数，十三万四千六百三十。
日法，四千五百五十九。
余数，九千六百七十。
周天，六十七万三千一百五十。
纪岁中，十二。
气法，十二。
没分，六万七千三百一十五。
没法，九百六十七。
月周，二万四千六百三十八。
通法，四十七。
会通，七十九万百一十。
朔望合数，六万七千三百一十五。
入交限数，七十二万二千七百九十五。
通周，十二万五千六百二十一。
周日日余，二千五百二十八。
周虚，二千三十一。斗分，四百五十五。甲子纪第一
纪首合朔，月在日道里。
交会差率四十一万二千九百一十九。
迟疾差率，十万三千九百四十七。
甲戌纪第二
纪首合朔，月在日道里。
交会差率，五十一万六千五百二十九。
迟疾差率，七万三千七百六十七。甲申纪第三
纪首合朔，月在日道里。
交会差率，六十二万一百三十九。
迟疾差率，四万三千五百八十七。
甲午纪第四
纪首合朔，月在日道里。
交会差率，七十二万三千七百四十九。
迟疾差率，一万三千四百七。甲辰纪第五
纪首合朔，月在日道里。
交会差率，三万七千二百四十九。
迟疾差率，十万八千八百四十八。
甲寅纪第六纪首合朔，月在日道里。
交会差率，十四万八百五十九。
迟疾差率，七万八千六百六十八。
交会纪差十万三千六百一十。求其数之所生者，置一纪积月，以通数乘之，会通去之，所去之余，纪差之数也。以之转加前纪，则得后纪。加之未满会通者，则纪首之岁天正合朔月在日道里；满去之，则月在日道表。加表，满在里；加里，满在表。
迟疾纪差三万一百八十。求其数之所生者，置一纪积月，以通数乘之，通周去之，余以减通周，所减之余，纪差之数也。以之转减前纪，则得后纪。不足减者，加通周。求次元纪差率，转减前元甲寅纪差率，余则次元甲子纪差率也。求次纪，如上法也。推朔积月术曰：置壬辰元以来，尽所求年，外所求，以纪法除之，所得算外，所入纪第也，余则入纪年数也。以章月乘之，如章岁而一，为积月，不尽为闰余。闰余十二以上，其年有闰。闰月以无中气为正。
推朔术曰：以通数乘积月，为朔积分。如日法而一，为积日，不尽为小余。以六十去积日，余为大余。大余命以纪，算外，所求年天正十一月朔日也。求次月，加大余二十九，小余二千四百一十九，小余满日法从大余，命如前，次月朔日也。小余二千一百四十以上，其月大也。
推弦望，加朔大余七，小余千七百四十四，小分一，小分满二从小余，小余满日法从大余，大余满六十去之，余命以纪，算外，上弦日也。又加，得望、下弦、后月朔。其月蚀望者，定小余如在中节者定小余如所近中节间限数、限数以下者，算上为日。望在中节前后各四日以还者，视限数；望在中节前后各五日以上者，视间限。
推二十四气术曰：置所入纪年，外所求，以余数乘之，满纪法为大余，不尽为小余。大余满六十去之，余命以纪，算外，天正十一月冬至日也。
求次气，加大余十五，小余四百二，小分十一，小分满气法从小余，小余满纪法从大余，命如前，次气日也。推闰月术曰：以闰余减章岁，余以岁中乘之，满章闰得一月，余满半法以上，亦得一月。数从天正十一月起，算外，闰月也。闰有进退，以无中气御之。
大雪十一月节限数千二百四十二间限千二百四十八
冬至十一月中限数千二百五十四间限千二百四十五小寒十二月节限数千二百三十五间限千二百二十四
大寒十二月中限数千二百一十三间限千一百九十二
立春正月节限数千一百七十二间限千一百四十七
雨水正月中限数千一百二十二间限千九十三
惊蛰二月节限数千六十五间限千三十六春分二月中限数千八间限九百七十九清明三月节限数九百五十一间限九百二十五
谷雨三月中限数九百间限八百七十九立夏四月节限数八百五十七间限八百四十小满四月中限数八百二十三间限八百一十二
芒种五月节限数八百间限七百九十九
夏至五月中限数七百九十八间限八百一小暑六月节限数八百五间限八百一十五
大暑六月中限数八百二十五间限八百四十二立秋七月节限数八百五十九间限八百八十三
处暑七月中限数九百七间限九百三十五
白露八月节限数九百六十二间限九百九十二
秋分八月中限数千二十一间限千五十一
寒露九月节限数千八十间即千一百七
霜降九月中限数千一百三十三间限千一百五十七
立冬十月节限数千一百八十一间限千一百九十八
小雪十月中限数千二百一十五间限千二百二十九
推没灭术曰：因冬至积日有小余者，加积一，以没分乘之，以没法除之，所得为大余，不尽为小余。大余满六十去之，余命以纪，算外，即去年冬至后日也。求次没，加大余六十九，小余五百九十二，小余满没法得一，从大余，命如前。小余尽，为灭也。
推五行用事日：立春、立夏、立秋、立冬者，即木、火、金、水始用事日也。各减其大余十八，小余四百八十三，小分六，余命以纪，算外，各四立之前，土用事日也。大余不足减者，加六十；小余不足者，减大余一，加纪法；小分不足减者，减小余一，加气法。推卦用事日：因冬至大余，六其小余，即《坎卦》用事日也。加小余万九十一，满元法从大余，即《中孚》用事日也。
求次卦，各加大余六，小余九百六十七。其四正各因其中日，六其小余。推日度术曰：以纪法朔积日，满周天去之，余以纪法除之，所得为度，不尽为分。命度从牛前五起，宿次除之，不满宿，则天正十一月朔夜半日所在度及分也。求次日，日加一度，分不加，经斗除斗分，分少，退一度。
推月度术曰：以月周乘朔积日，满周天去之，余以纪法除之，所得为度，不尽为分，命如上法，则天正十一月朔夜半月所在度及分也。
求次月，小月加度二十二，分八百六，大月又加一日，度十三，分六百七十九；分满纪法得一度，则并月朔夜半月所在度分及也。其冬下旬，月在张、心署之。
推合朔度术曰：以章岁乘朔小余，满通法为大分，不尽为小分。以大分从朔夜半日度分，分满纪法从度，命如前，则天正十一月合朔日月所共合度也。
求次月，加度二十九，大分九百七十七，小分四十二，小分满通法从大分，大分满纪法从度，经斗除其分，则次月合朔日月所共合度也。
推弦望日所在度：加合朔度七，大分七百五，小分十，微分一，微分满二从小分，小分满通法从大分，大分满纪法从度，命如前，则上弦日所在度也。又加，得望，下弦、后月合也。
推弦望月所在度：加合朔度九十八，大分千二百七十九，小分三十四，数满命如前，即上弦月所在度也。又加，得望，下弦、后月合也。
推日月昏明度术曰：日以纪法，月以月周，乘所近节气夜漏，二百而一，为明分。日以减纪法，月以减月周，余为昏分。各以分加夜半，如法为度。
推合朔交会月蚀术曰：置所入纪朔积分，以所入纪下交会差率之数加之，以会通去之，余则所求年天正十一月合朔去交度分也。以通数加之，满会通去之，余则次月合朔去交度分也。以朔望合数各加其月合朔去交度分，满会通去之，余则各其月望去交度分也。朔望去交分，如朔望合数以下，入交限数以上者，朔则交会，望则月蚀。推合朔交会月蚀月在日道表里术曰：置所入纪朔积分，以所入纪下交会差率之数加之，倍会通去之，余不满会通者，纪首表，天正合朔月在表；纪首里，天正合朔月在里。满会通去之，表满在里，里满在表。
求次月，以通数加之，满会通去之，加里满在表，加表满在里。先交会后月蚀者，朔在表则望在表，朔在裹则望在里。先月蚀后交会者，看蚀月朔在里则望在表，朔在表则望在里。交会月蚀如朔望合数以下，则前交后会；如入交限数以上，则前会后交。其前交后会近于限数者，则豫伺之；前会后交近于限数者，则后伺之。
求去交度术曰：其前交后会者，今去交度分如日法而一，所得则却交度分也。其前会后交者，以去交度分减会通，余如日法而一，所得则前去交度也。余皆度分也。去交度十五以上，虽交不蚀也，十以下是蚀，十以上，亏蚀微少，光晷相及而已。亏之多少，以十五为法。
求日蚀亏起角术曰：其月在外道，先交后会者，亏蚀西南角起；先会后交者，亏蚀东南角起。其月在内道，先交后会者，亏蚀西北角起；先会后交者，亏蚀东北角起。亏蚀分多少，如上以十五为法。会交中者，蚀尽。月蚀在日之冲，亏角与上反也。
月行迟疾度损益率盈缩积分月行分一日十四度十四分益二十六盈初二百八十二日十四度十一分益二十三盈积分118534二百七十七
三日十四度八分益二十盈积分223391二百七十四
四日十四度五分益十七盈积分314571二百七十一
五日十四度一分益十三盈积分392714二百六十七
六日十三度十四分益七盈积分451341二百六十一
七日十三度七分损盈积分483254二百五十四
八日十三度一分损六盈积分483254二百四十八
九日十二度十六分损十盈积分455900二百四十四
十日十二度十三分损十三盈积分410310二百四十一
十一日十二度十一分损十五盈积分351413二百三十九
十二日十二度八分损十八盈积分282658二百三十六
十三日十二度五分损二十一盈积分200596二百三十三
十四日十二度三分损二十三盈积分104857二百三十一十五日十二度五分益二十一缩初二百三十三十六日十二度七分益十九缩积分95739二百三十五
十七日十二度九分益十七缩积分182336二百三十七
十八日十二度十二分益十四缩积分259863二百四十十九日十二度十五分益十一缩积分323689二百四十三二十日十二度十八分益八缩积分373838二百四十六
二十一日十三度三分益四缩积分410311二百五十
二十二日十三度七分损缩积分428546二百五十四
二十三日十三度十二分损五缩积分428546二百五十九
二十四日十三度十八分损十一缩积分405751二百六十五
二十五日十四度五分损十七缩积分355602二百七十一
二十六日十四度十一分损二十三缩积分278099二百七十七二十七日十四度十二分损二十四缩积分173242二百七十八
周日十四度十三分有小分六百二十六分损二十五有小分六百二十六
缩积分63826二百七十九
有小分六百二十六
推合朔交会月蚀入迟疾历术曰：置所入纪朔积分，以所入纪下迟疾差率数加之，以通周去之，余满日法得一日，不尽为日余，命日算外，则所求年天正十一月合朔入历日也。
求次月，加一日，日余四千四百五十。求望，加十四日，日余三千四百八十九。日余满日法成日，日满二十七去之。又除余如周日余，日余不足除者，减一日，加周虚。
推合朔交会月蚀定大小余：以入历日余乘所入历损益率，以损益盈缩积分，为定积分。以章岁减所入历月行分，余以除之，所得以盈减缩加本小余。加之满日法者，交会加时在后日；减之不足者，交会加时在前日。月蚀者，随定大小余为日加时。入历在周日者，以周日日余乘缩积分，为定积分。以损率乘入历日余，又以周日日余乘之，以周日日度小分并之，以损定积分，余为后定积分。以章岁减周日月行分，余以周日日余乘之，以周日度小分并之，以除后定积分，所得以加本小余，如上法。
推加时：以十二乘定小余，满日法得一辰，数从子起，算外，则朔望加时所在辰也。有余不尽者四之，如日法而一为少，二为半，三为太。又有余者三之，如日法而一为强，半法以上排成之，不满半法废弃之。以强并少为少强，并半为半强，并太为太强。得二强者为少弱，以之并少为半弱，以之并半为太弱，以之并太为一辰弱。以所在辰命之，则各得其少、太、半及强，弱也。其月蚀望在中节前后四日以还者，视限数；在中节前后五日以上者，视间限。定小余如间限、限数以下者，以算上为日。
斗二十六分四百五十五牛八女十二虚十危十七室十六壁九
北方九十八度分四百五十五
奎十六娄十二胃十四昴十一毕十六觜二参九西方八十度井三十三鬼四柳十五星七张十八翼十八轸十七
南方百十二度
角十二亢九氐十五房五心五尾十八箕十一东方七十五度
表略
右中节二十四气，如术求之，得冬至十一月中也。加之得次月节，加节得其月中。中星以日所在为正，置所求年二十四气小余，四之，如法得一为少；不尽少，三之，如法为强；所得以减其节气昏明中星各定。
推五星术五星者，木曰岁星，火曰荧惑星，土曰填星，金曰太白星，水曰辰星。凡五星之行，有迟有疾，有留有逆。曩自开辟，清浊始分，则日月五星聚于星纪。发自星纪，并而行天，迟疾留逆，互相逮及。星与日会，同宿共度，则谓之合。从合至合之日，则谓之终。各一以终之日与一岁之日通分相约，终而率之，岁数岁则谓之合终岁数，岁终则谓之合终合数。二率既定，则法数生焉。以章岁乘合数，为合月法。以纪法乘合数，为日度法。以章月乘岁数，为合月分；如合月法为合月数，合月之余为月余。以通数乘合月数，如日法而一，为大余。以六十去大余，余为星合朔大余。大余之余为朔小余。以通数乘月余，以合月法乘朔小余，并之，以日法乘合月法除之，所得星合入月日数也。余以通法约之，为入月日余。以朔小余减日法，余为朔虚分。以历斗分乘合数，为星度斗分。木、火、土各以合数减岁数，余以周天乘之，如日度法而一，所得则行星度数也，余则度余。金、水以周天乘岁数，如日度法而一，所得则行星度数也，余则度余也。
木：合终岁数，一千二百五十五。
合终合数，一千一百四十九。
合月法，二万一千八百三十一。
日度法，二百一十一万七千六百七。
合月数。一十三。
月余，一万一千一百二十二。
朔大余，二十三。
朔小余，四千九十三。
入月日，一十五。
日余，一百九十九万五千六百六十四。
朔虚分，四百六十六。
斗分，五十二万二千七百九十五。行星度，三十三。
度余，一百四十七万二千八百六十九。
火：合终岁数，五千一百五。
合终合数，二千三百八十八。
合月法，四万五千三百七十二。日度法，四百四十万一千八十四。
合月数，二十六。
月余，二万三。
朔大余，四十七。朔小余，三千六百二十七。
入月日，一十三。
日余，三百五十八万五千二百三十。朔虚分，九百三十二。
斗分，一百八万六千五百四十。行星度，五十。
度余，一百四十一万二千一百五十。
土：合终岁数，三千九百四十三。
合终合数，三千八百九。
合月法，七万二千三百七十一。
日度法，七百一万九千九百八十七。
合月数，一十二。
月余，五万八千一百五十三。
朔大余，五十四。
朔小余，一千六百七十四。
入月日，二十四。
日余，六十七万五千三百六十四。
朔虚分，二千八百八十五。
斗分，一百七十三万三千九十五。
行星度，一十二。
度余，五百九十六万二千二百五十六。
金：合终岁数，一千九百七。
合终合数，二千三百八十五。合月法，四万五千三百一十五。日度法，四百三十九万五千五百五十五。
合月数，九。
月余，四万三百一十。
朔大余，二十五。
朔小余，三千五百三十五。
入月日，二十七。
日余，十九万四千九百九十。
朔虚分，一千二十四。
斗分，一百八万五千一百七十五。
行星度，二百九十二。
度余，十九万四千九百九十。
水：合终岁数，一千八百七十。
合终合数，一万一千七百八十九。合月法，二十二万三千九百九十一。
日度法，二千一百七十二万七千一百二十七。
合月数，一。
月余，二十一万五千四百五十九。
朔大余，二十九。
朔小余，二千四百一十九。
入月日，二十八。
日余，二千三十四万四千二百六十一。
朔虚分，二千一百四十。
斗分，五百三十六万三千九百九十五。
行星度，五十七。
度余，二千三十四万千三百六十一。
推五星术曰：置壬辰元以来尽所求年，以合终合数乘之，满合终岁数得一，名积合，不尽名为合余。以合终合数减合余，得一者星合往年，得二者合前往年，无所得，合其年。余以减合终合数，为度分。金、水积合，偶为晨，奇为夕。
推五星合月：以月数、月余各乘积合，余满合月法从月，为积月，不尽为月余。以纪月除积月，所得算外，所入纪也，余为入纪月。副以章闰乘之，满章月得一为闰，以减入纪月，余以岁中去之，余为入岁月，命以天正起，算外，星合月也。其在闰交际，以朔御之。
推合月朔：以通数乘入纪月，满日法得一，为积日，不尽为小余。以六十去积日，余为大余，命以所入纪，算外，星合朔日也。推入月日：以通数乘月余，合月法乘朔小余，并之，通法约之，所得满日度法得一，则星合入月日也，不满日余。命日以朔，算外，入月日也。
推星合度：以周天乘度分，满日度法得一为度，不尽为余。命以牛前五度起，算外，星所合度也。求后全月：以月数加入岁月，以余加月余，余满合月法得一月。月不满岁中，即在其年；满去之，有闰计焉，余为后年；再满，在后二年。金、水加晨得夕，加夕得晨也。
求后合朔：以朔大、小余数加合朔月大、小余，其月余上成月者，又加大余二十九，小余二千四百一十九，小余满日法从大余，命如前法。
求后入月日：以入月日、日余加入月日及余，余满日度法得一。其前合朔小余满其虚分者，去一日；后小余满二千四百一十九以上，去二十九日；不满，去三十日，其余则后合入月日，命以朔。求后合度，以度数及分，如前合宿次命之。
木：晨与日合，伏，顺，十六日九十九万七千八百三十二分行星二度百七十九万五千二百三十八分，而晨见东方，在日后。顺，疾，日行五十七分之十一，五十七日行十一度。顺，迟，日行九分，五十七日行九度而留。不行二十七日而旋。逆，日行七分之一，八十四日退十二度而复留。二十七日复迟，日行九分，五十七日行九度而复顺。疾，日行十一分，五十七日行十一度，在日前，夕伏西方。顺，十六日九十九万七千八百三十二分行星二度百七十九万五千二百三十八分，而与日合。凡一终，三百九十八日百九十九万五千六百六十四分，行星三十三度百四十七万二千八百六十九分。火：晨与日合，伏，七十二日百七十九万二千六百一十五分行星五十六度百二十四万九千三百四十五分，而晨见东方，在日后。顺，日行二十三分之十四，百八十四日行百一十二度。更顺，迟，日行十二分，九十二日行四十八度而留。不行十一日而旋。逆，日行六十二分之十七，六十二日退十七度而复留。十一日复顺，迟，日行十二分，九十二日行四十八度而复疾。日行十四分，百八十四日行百一十二度，在日前，夕伏西方。顺，七十二日百七十九万二千六百一十五分行星五十六度百二十四万九千三百四十五分，而与日合。凡一终，七百八十日三百五十八万五千二百三十分，行星四百一十五度二百四十九万八千六百九十分。土：晨与日合，伏，十九日三百八十四万七千六百七十五分半行星二度六百四十九万一千一百二十一分半，而晨见东方，在日后。顺，行百七十二分之十三，八十六日行六度半而留。不行三十二日半而旋。逆，日行十七分之一，百二日退六度而复留。不行三十二日半复顺，日行十三分，八十六日行六度半，在日前，夕伏西方。顺，十九日三百八十四万七千六百七十五分半行星二度六百四十九万一千一百二十一分半，而与日合。凡一终，三百七十八日六十七万五千三百六十四分，行星十二度五百九十六万二千二百五十六分。
金：晨与日合，伏，六日退四度，而晨见东方，在日后而逆。迟，日行五分之三，十日退六度。留，不行七日而旋。顺，迟，日行四十五分之三十三，四十五日行三十三度而顺。疾，日行一度九十一分之十四，九十一日行百五度而顺。益疾，日行一度九十一分之二十一，九十一日行百一十二度，在日后，而晨伏东方。顺，四十二日十九万四千九百九十分行星五十二度十九万四千九百九十分，而与日合。一合，二百九十二日十九万四千九百九十分，行星如之。
金：夕与日合，伏，顺，四十二日十九万四千九百九十分行星五十二度十九万四千九百九十分，而夕见西方，在日前。顺，疾，日行一度九十一分之二十一，九十一日行百一十二度而更顺。迟，日行一度十四分，九十一日行百五度而顺。益迟，日行四十五分之三十三，四十五日行三十三度而留。不行七日而旋。逆，日行五分之三，十日退六度，在日前，夕伏西方。逆，六日退四度，而与日合。凡再合一终，五百八十四日三十八万九千九百八十分，行星如之。
水：晨与日合，伏，十一日退七度，而晨见东方，在日后。逆，疾，一日退一度而留。不行一日而旋。顺，迟，日行八分之七，八日行七度而顺。疾，日行一度十八分之四，十八日行二十二度，在日后，晨伏东方。顺，十八日二千三十四万四千二百六十一分行星三十六度二千三十四万四千二百六十一分，而与日合。凡一合，五十七日二千三十四万四千二百六十一分，行星如之。水：夕与日合，伏，十八日二千三十四万四千二百六十一分行星三十六度二千三十四万四千二百六十一分，而夕见西方，在日前。顺，疾，日行一度十八分之四，十八日行二十二度而更顺。迟，日行八分之七，八日行七度而留。不行一日而旋。逆，一日退一度，在日前，夕伏西方。逆，十一日退七度，而与日合。凡再合一终，百一十五日千八百九十六万一千三百九十五分，行星如之。
五星历步术
以法伏日度余加星合日度余，余满日度法得一从全，命之如前，得星见日及度余也。以星行分母乘见度分，如日度法得一，分不尽，半法以上亦得一，而日加所行分，分满其母得一度。逆顺母不同，以当行之母乘故分，如故母而一，当行分也。留者承前，逆则减之，伏不尽度，除斗分，以行母为率。分有损益，前后相御。武帝侍中平原刘智，以斗历改宪，推《四分法》，三百年而减一日，以百五十为度法，三十七为斗分。推甲子为上元，至泰始十年，岁在甲午，九万七千四百一十一岁，上元天正甲子朔夜半冬至，日月五星始于星纪，得元首之端。饰以浮说，名为《正历》。
当阳侯杜预著《春秋长历》，说云：
日行一度，月行十三度十九分之七有奇，日官当会集此之迟疾，以考成晦朔，以设闰月。闰月无中气，而北斗邪指两辰之间，所以异于他月。积此以相通，四时八节无违，乃得成岁，其微密至矣。得其精微，以合天道，则事叙而不愆。故《传》曰：“闰以正时，时以作事。”然阴阳之运，随动而差，差而不已，遂与历错。故仲尼、丘明每于朔闰发文，盖矫正得失，因以宣明历数也。
刘子骏造《三正历》以修《春秋》，日蚀有甲乙者三十四，而《三正历》惟得一蚀，比诸家既最疏。又六千余岁辄益一日，凡岁当累日为次，而故益之，此不可行之甚者。自古已来，诸论《春秋》者多违谬，或造家术，或用黄帝已来诸历，以推经传朔日，皆不谐合。日蚀于朔，此乃天验，《经传》又书其朔蚀，可谓得天，而刘贾诸儒说，皆以为月二日或三日，公违圣人明文，其弊在于守一元，不与天消息也。
余感《春秋》之事，尝著《历论》，极言历之通理。其大指曰：“天行不息，日月星辰各运其舍，皆动物也。物动则不一，虽行度有大量可得而限，累日为月，累月为岁，以新故相涉，不得不有毫末之差，此自然之理也。故春秋日有频月而蚀者，有旷年不蚀者，理不得一，而算守恒数，故历无不有先后也。始失于毫毛，而尚未可觉，积而成多，以失弦望晦朔，则不得不改宪以从之。《书》所谓“钦若昊天，历象日月星辰”，《易》所谓“治历明时”，言当顺天以求合，非为合以验天者也。推此论之，春秋二百余年，其治历变通多矣。虽数术绝灭，远寻《经传》微旨，大量可知，时之违谬，则《经传》有验。学者固当曲循《经传》月日、日蚀，以考晦朔，以推时验；而皆不然，各据其学，以推春秋，此无异于度己之迹，而欲削他人之足也。
余为《历论》之后，至咸宁中，善算者李修、卜显，依论体为术，名《干度历》，表上朝廷。其术合日行四分数而微增月行，用三百岁改宪之意，二元相推，七十余岁，承以强弱，强弱之差盖少，而适足以远通盈缩。时尚书及史官，以《干度》与《泰始历》参校古今记注，《干度历》殊胜《泰始历》，上胜官历四十五事。今其术具存。又并考古今十历以验《春秋》，知《三统》之最疏也。
《春秋》大凡七百七十九日，三百九十三《经》，三百八十六《传》。其三十七日食。三无甲乙。
《黄帝》历得四百六十六日，一蚀。
《颛顼历》得五百九日，八蚀。
《夏历》得五百三十六日，十四蚀。
《真夏历》得四百六十六日，一蚀。
《殷历》得五百三日，十三蚀。
《周历》得五百六日，十三蚀。
《真周历》得四百八十五日，一蚀。
《鲁历》得五百二十九日，十三蚀。
《三统历》得四百八十四日，一蚀。
《干象历》得四百九十五日，七蚀。
《泰始历》得五百一十日，十九蚀。
《干度历》得五百三十八日，十九蚀。
今《长历》得七百四十六日，三十三蚀。失三十三日，《经传》误；四日蚀，三无甲乙。
汉末，宋仲子集七历以考《春秋》，案其夏、周二历术数，皆与《艺文志》所记不同，故更名为《真夏》、《真周历》也。穆帝永和八年，著作郎琅邪王朔之造《通历》，以甲子为上元，积九万七千年，四千八百八十三为纪法，千二百五为斗分，因其上元为开辟之始。后秦姚兴时，当孝武太元九年，岁在甲申，天水姜岌造《三纪甲子元历》，其略曰：“治历之道，必审日月之行，然后可以上考天时，下察地化。一失其本，则四时变移。故仲尼之作《春秋》，日以继月，月以继时，时以继年，年以首事，明天时者人事之本，是以王者重之。自皇羲以降，暨于汉魏，各自制历，以求厥中。考其疏密，惟交会薄蚀可以验之。然书契所记，惟《春秋》著日蚀之变，自隐公讫于哀公，凡二百四十二年之间，日蚀三十有六，考其晦朔，不知用何历也。班固以为《春秋》因《鲁历》，《鲁历》不正，故置闰失其序。鲁以闰余一之岁为蔀首，检《春秋》置闰不与此蔀相符也。《命历序》曰：孔子为治《春秋》之故，退修殷之故历，使其数可传于后。如是，《春秋》宜用《殷历》正之。今考其交会，不与《殷历》相应，以《殷历》考《春秋》，月朔多不及其日，又以检《经》，率多一日，《传》率少一日。但《公羊》、《经》、《传》异朔，于理可从，而《经》有蚀朔之验，《传》为失之也。服虔解《传》用太极上元，太极上元乃《三统历》刘歆所造元也，何缘施于《春秋》？于《春秋》而用《汉历》，于义无乃远乎？《传》之违失多矣，不惟斯事而已。襄公二十七年冬十有一月乙亥朔，日有蚀之。《传》曰：‘辰在申，司历过，再失闰也。’考其去交分，交会应在此月，而不为再失闰也。案歆历于《春秋》日蚀一朔，其余多在二日。因附《五行传》，著朓与侧匿之说云：春秋时诸侯多失其政，故月行恒迟。歆不以历失天，而为之差说。日之食朔，此乃天验也，而歆反以历非此，冤天而负时历也。杜预又以为周衰世乱，学者莫得其真，今之所传七历，皆未必是时王之术也。今诚以七家之历，以考古今交会，信无其验也，皆由斗分疏之所致也。《殷历》以四分一为斗分，《三统》以一千五百三十九分之三百八十五为斗分，《干象》以五百八十九分之一百四十五为斗分，今《景初》以一千八百四十三分之四百五十五为斗分，疏密不同，法数各异。《殷历》斗分粗，故不施于今。《干象》斗分细，故不得通于古。《景初》斗分虽在粗细之中，而日之所在乃差四度，日月亏已，皆不及其次，假使日在东井而蚀，以月验之，乃在参六度，差违乃尔，安可以考天时人事乎？今治新历，以二千四百五十一分之六百五为斗分，日在斗十七度，天正之首，上可以考合于《春秋》，下可以取验于今世。以之考《春秋》三十六蚀，正朔者二十有五，蚀二日者二，蚀晦者二，误者五，凡三十三蚀，其余蚀经无日讳之名，无以考其得失。图纬皆云“三百岁斗历改宪”。以今新施于春秋之世，日蚀多在朔，春秋之世，下至于今，凡一千余岁，交会弦望故进退于三蚀之间，此法乃可永载用之，岂三百岁斗历改宪者乎？
甲子上元以来，至鲁隐公元年已未岁，凡八万二千七百三十六，至晋孝武太元九年甲申岁，凡八万三千八百四十一，算上。
元法，七千三百五十三。纪法，二千四百五十一。
通数，十七万九千四十四。日法，六千六十二。
月周，三万二千七百六十六。
气分，万二千八百六十。
元月，九万九百四十五。
纪月，三万三百一十五。
没分，四万四千七百六十一。
没法，六百四十三。
斗分，六百五。
周天，八十九万五千二百二十。一名纪日。
章月，二百三十五。
章岁，十九。
章闰，七。
岁中，十二。
会数，四十七。日月八百九十三岁，凡四十七会，分尽。
气中，十二。
甲子纪交差，九千一百五十七。
甲申纪交差，六千三百三十七。
甲辰纪交差，三千五百一十七。
周半，一百二十七。
朔望合数，九百四十一。会岁，八百九十三。
会月，万一千四十五。
小分，二千一百九十六。章数，一百二十九。小分，二千一百八十三。
周闰大分，七万六千二百六十九。
历周，四十四万七千六百一十。半周天
会分，三万八千一百三十四。差分，一万一千九百八十六。会率，一千八百八十二。
小分法，二千二百九。
入交限，一万一百四。
小周，二百五十四。
甲子纪差率，四万九千一百七十八。甲申纪差率，五万八千二百三十一。
甲辰纪差率，六万七千二百八十四。
通周，十六万七千六十三。
周日日余，三千三百六十二。周虚，二千七百一。
五星约法，据出见以为正，不系于元本。然则算步究于元初，约法施于今用，曲求其趣，则各有宜，故作者两设其法也。岌以月食检日宿度所在，为历术者宗焉。又著《浑天论》，以步日于黄道，驳前儒之失，并得其中矣。
元法，万一千五十八。
纪法，千八百四十三。纪月，二万二千七百九十五。
章岁。十九。章月，二百三十五。
章闰，七。
通数，十三万四千六百三十。
日法，四千五百五十九。
余数，九千六百七十。
周天，六十七万三千一百五十。
纪岁中，十二。
气法，十二。
没分，六万七千三百一十五。
没法，九百六十七。
月周，二万四千六百三十八。
通法，四十七。
会通，七十九万百一十。
朔望合数，六万七千三百一十五。
入交限数，七十二万二千七百九十五。
通周，十二万五千六百二十一。
周日日余，二千五百二十八。
周虚，二千三十一。斗分，四百五十五。甲子纪第一
纪首合朔，月在日道里。
交会差率四十一万二千九百一十九。
迟疾差率，十万三千九百四十七。
甲戌纪第二
纪首合朔，月在日道里。
交会差率，五十一万六千五百二十九。
迟疾差率，七万三千七百六十七。甲申纪第三
纪首合朔，月在日道里。
交会差率，六十二万一百三十九。
迟疾差率，四万三千五百八十七。
甲午纪第四
纪首合朔，月在日道里。
交会差率，七十二万三千七百四十九。
迟疾差率，一万三千四百七。甲辰纪第五
纪首合朔，月在日道里。
交会差率，三万七千二百四十九。
迟疾差率，十万八千八百四十八。
甲寅纪第六纪首合朔，月在日道里。
交会差率，十四万八百五十九。
迟疾差率，七万八千六百六十八。
交会纪差十万三千六百一十。求其数之所生者，置一纪积月，以通数乘之，会通去之，所去之余，纪差之数也。以之转加前纪，则得后纪。加之未满会通者，则纪首之岁天正合朔月在日道里；满去之，则月在日道表。加表，满在里；加里，满在表。
迟疾纪差三万一百八十。求其数之所生者，置一纪积月，以通数乘之，通周去之，余以减通周，所减之余，纪差之数也。以之转减前纪，则得后纪。不足减者，加通周。求次元纪差率，转减前元甲寅纪差率，余则次元甲子纪差率也。求次纪，如上法也。推朔积月术曰：置壬辰元以来，尽所求年，外所求，以纪法除之，所得算外，所入纪第也，余则入纪年数也。以章月乘之，如章岁而一，为积月，不尽为闰余。闰余十二以上，其年有闰。闰月以无中气为正。
推朔术曰：以通数乘积月，为朔积分。如日法而一，为积日，不尽为小余。以六十去积日，余为大余。大余命以纪，算外，所求年天正十一月朔日也。求次月，加大余二十九，小余二千四百一十九，小余满日法从大余，命如前，次月朔日也。小余二千一百四十以上，其月大也。
推弦望，加朔大余七，小余千七百四十四，小分一，小分满二从小余，小余满日法从大余，大余满六十去之，余命以纪，算外，上弦日也。又加，得望、下弦、后月朔。其月蚀望者，定小余如在中节者定小余如所近中节间限数、限数以下者，算上为日。望在中节前后各四日以还者，视限数；望在中节前后各五日以上者，视间限。
推二十四气术曰：置所入纪年，外所求，以余数乘之，满纪法为大余，不尽为小余。大余满六十去之，余命以纪，算外，天正十一月冬至日也。
求次气，加大余十五，小余四百二，小分十一，小分满气法从小余，小余满纪法从大余，命如前，次气日也。推闰月术曰：以闰余减章岁，余以岁中乘之，满章闰得一月，余满半法以上，亦得一月。数从天正十一月起，算外，闰月也。闰有进退，以无中气御之。
大雪十一月节限数千二百四十二间限千二百四十八
冬至十一月中限数千二百五十四间限千二百四十五小寒十二月节限数千二百三十五间限千二百二十四
大寒十二月中限数千二百一十三间限千一百九十二
立春正月节限数千一百七十二间限千一百四十七
雨水正月中限数千一百二十二间限千九十三
惊蛰二月节限数千六十五间限千三十六春分二月中限数千八间限九百七十九清明三月节限数九百五十一间限九百二十五
谷雨三月中限数九百间限八百七十九立夏四月节限数八百五十七间限八百四十小满四月中限数八百二十三间限八百一十二
芒种五月节限数八百间限七百九十九
夏至五月中限数七百九十八间限八百一小暑六月节限数八百五间限八百一十五
大暑六月中限数八百二十五间限八百四十二立秋七月节限数八百五十九间限八百八十三
处暑七月中限数九百七间限九百三十五
白露八月节限数九百六十二间限九百九十二
秋分八月中限数千二十一间限千五十一
寒露九月节限数千八十间即千一百七
霜降九月中限数千一百三十三间限千一百五十七
立冬十月节限数千一百八十一间限千一百九十八
小雪十月中限数千二百一十五间限千二百二十九
推没灭术曰：因冬至积日有小余者，加积一，以没分乘之，以没法除之，所得为大余，不尽为小余。大余满六十去之，余命以纪，算外，即去年冬至后日也。求次没，加大余六十九，小余五百九十二，小余满没法得一，从大余，命如前。小余尽，为灭也。
推五行用事日：立春、立夏、立秋、立冬者，即木、火、金、水始用事日也。各减其大余十八，小余四百八十三，小分六，余命以纪，算外，各四立之前，土用事日也。大余不足减者，加六十；小余不足者，减大余一，加纪法；小分不足减者，减小余一，加气法。推卦用事日：因冬至大余，六其小余，即《坎卦》用事日也。加小余万九十一，满元法从大余，即《中孚》用事日也。
求次卦，各加大余六，小余九百六十七。其四正各因其中日，六其小余。推日度术曰：以纪法朔积日，满周天去之，余以纪法除之，所得为度，不尽为分。命度从牛前五起，宿次除之，不满宿，则天正十一月朔夜半日所在度及分也。求次日，日加一度，分不加，经斗除斗分，分少，退一度。
推月度术曰：以月周乘朔积日，满周天去之，余以纪法除之，所得为度，不尽为分，命如上法，则天正十一月朔夜半月所在度及分也。
求次月，小月加度二十二，分八百六，大月又加一日，度十三，分六百七十九；分满纪法得一度，则并月朔夜半月所在度分及也。其冬下旬，月在张、心署之。
推合朔度术曰：以章岁乘朔小余，满通法为大分，不尽为小分。以大分从朔夜半日度分，分满纪法从度，命如前，则天正十一月合朔日月所共合度也。
求次月，加度二十九，大分九百七十七，小分四十二，小分满通法从大分，大分满纪法从度，经斗除其分，则次月合朔日月所共合度也。
推弦望日所在度：加合朔度七，大分七百五，小分十，微分一，微分满二从小分，小分满通法从大分，大分满纪法从度，命如前，则上弦日所在度也。又加，得望，下弦、后月合也。
推弦望月所在度：加合朔度九十八，大分千二百七十九，小分三十四，数满命如前，即上弦月所在度也。又加，得望，下弦、后月合也。
推日月昏明度术曰：日以纪法，月以月周，乘所近节气夜漏，二百而一，为明分。日以减纪法，月以减月周，余为昏分。各以分加夜半，如法为度。
推合朔交会月蚀术曰：置所入纪朔积分，以所入纪下交会差率之数加之，以会通去之，余则所求年天正十一月合朔去交度分也。以通数加之，满会通去之，余则次月合朔去交度分也。以朔望合数各加其月合朔去交度分，满会通去之，余则各其月望去交度分也。朔望去交分，如朔望合数以下，入交限数以上者，朔则交会，望则月蚀。推合朔交会月蚀月在日道表里术曰：置所入纪朔积分，以所入纪下交会差率之数加之，倍会通去之，余不满会通者，纪首表，天正合朔月在表；纪首里，天正合朔月在里。满会通去之，表满在里，里满在表。
求次月，以通数加之，满会通去之，加里满在表，加表满在里。先交会后月蚀者，朔在表则望在表，朔在裹则望在里。先月蚀后交会者，看蚀月朔在里则望在表，朔在表则望在里。交会月蚀如朔望合数以下，则前交后会；如入交限数以上，则前会后交。其前交后会近于限数者，则豫伺之；前会后交近于限数者，则后伺之。
求去交度术曰：其前交后会者，今去交度分如日法而一，所得则却交度分也。其前会后交者，以去交度分减会通，余如日法而一，所得则前去交度也。余皆度分也。去交度十五以上，虽交不蚀也，十以下是蚀，十以上，亏蚀微少，光晷相及而已。亏之多少，以十五为法。
求日蚀亏起角术曰：其月在外道，先交后会者，亏蚀西南角起；先会后交者，亏蚀东南角起。其月在内道，先交后会者，亏蚀西北角起；先会后交者，亏蚀东北角起。亏蚀分多少，如上以十五为法。会交中者，蚀尽。月蚀在日之冲，亏角与上反也。
月行迟疾度损益率盈缩积分月行分一日十四度十四分益二十六盈初二百八十二日十四度十一分益二十三盈积分118534二百七十七
三日十四度八分益二十盈积分223391二百七十四
四日十四度五分益十七盈积分314571二百七十一
五日十四度一分益十三盈积分392714二百六十七
六日十三度十四分益七盈积分451341二百六十一
七日十三度七分损盈积分483254二百五十四
八日十三度一分损六盈积分483254二百四十八
九日十二度十六分损十盈积分455900二百四十四
十日十二度十三分损十三盈积分410310二百四十一
十一日十二度十一分损十五盈积分351413二百三十九
十二日十二度八分损十八盈积分282658二百三十六
十三日十二度五分损二十一盈积分200596二百三十三
十四日十二度三分损二十三盈积分104857二百三十一十五日十二度五分益二十一缩初二百三十三十六日十二度七分益十九缩积分95739二百三十五
十七日十二度九分益十七缩积分182336二百三十七
十八日十二度十二分益十四缩积分259863二百四十十九日十二度十五分益十一缩积分323689二百四十三二十日十二度十八分益八缩积分373838二百四十六
二十一日十三度三分益四缩积分410311二百五十
二十二日十三度七分损缩积分428546二百五十四
二十三日十三度十二分损五缩积分428546二百五十九
二十四日十三度十八分损十一缩积分405751二百六十五
二十五日十四度五分损十七缩积分355602二百七十一
二十六日十四度十一分损二十三缩积分278099二百七十七二十七日十四度十二分损二十四缩积分173242二百七十八
周日十四度十三分有小分六百二十六分损二十五有小分六百二十六
缩积分63826二百七十九
有小分六百二十六
推合朔交会月蚀入迟疾历术曰：置所入纪朔积分，以所入纪下迟疾差率数加之，以通周去之，余满日法得一日，不尽为日余，命日算外，则所求年天正十一月合朔入历日也。
求次月，加一日，日余四千四百五十。求望，加十四日，日余三千四百八十九。日余满日法成日，日满二十七去之。又除余如周日余，日余不足除者，减一日，加周虚。
推合朔交会月蚀定大小余：以入历日余乘所入历损益率，以损益盈缩积分，为定积分。以章岁减所入历月行分，余以除之，所得以盈减缩加本小余。加之满日法者，交会加时在后日；减之不足者，交会加时在前日。月蚀者，随定大小余为日加时。入历在周日者，以周日日余乘缩积分，为定积分。以损率乘入历日余，又以周日日余乘之，以周日日度小分并之，以损定积分，余为后定积分。以章岁减周日月行分，余以周日日余乘之，以周日度小分并之，以除后定积分，所得以加本小余，如上法。
推加时：以十二乘定小余，满日法得一辰，数从子起，算外，则朔望加时所在辰也。有余不尽者四之，如日法而一为少，二为半，三为太。又有余者三之，如日法而一为强，半法以上排成之，不满半法废弃之。以强并少为少强，并半为半强，并太为太强。得二强者为少弱，以之并少为半弱，以之并半为太弱，以之并太为一辰弱。以所在辰命之，则各得其少、太、半及强，弱也。其月蚀望在中节前后四日以还者，视限数；在中节前后五日以上者，视间限。定小余如间限、限数以下者，以算上为日。
斗二十六分四百五十五牛八女十二虚十危十七室十六壁九
北方九十八度分四百五十五
奎十六娄十二胃十四昴十一毕十六觜二参九西方八十度井三十三鬼四柳十五星七张十八翼十八轸十七
南方百十二度
角十二亢九氐十五房五心五尾十八箕十一东方七十五度
表略
右中节二十四气，如术求之，得冬至十一月中也。加之得次月节，加节得其月中。中星以日所在为正，置所求年二十四气小余，四之，如法得一为少；不尽少，三之，如法为强；所得以减其节气昏明中星各定。
推五星术五星者，木曰岁星，火曰荧惑星，土曰填星，金曰太白星，水曰辰星。凡五星之行，有迟有疾，有留有逆。曩自开辟，清浊始分，则日月五星聚于星纪。发自星纪，并而行天，迟疾留逆，互相逮及。星与日会，同宿共度，则谓之合。从合至合之日，则谓之终。各一以终之日与一岁之日通分相约，终而率之，岁数岁则谓之合终岁数，岁终则谓之合终合数。二率既定，则法数生焉。以章岁乘合数，为合月法。以纪法乘合数，为日度法。以章月乘岁数，为合月分；如合月法为合月数，合月之余为月余。以通数乘合月数，如日法而一，为大余。以六十去大余，余为星合朔大余。大余之余为朔小余。以通数乘月余，以合月法乘朔小余，并之，以日法乘合月法除之，所得星合入月日数也。余以通法约之，为入月日余。以朔小余减日法，余为朔虚分。以历斗分乘合数，为星度斗分。木、火、土各以合数减岁数，余以周天乘之，如日度法而一，所得则行星度数也，余则度余。金、水以周天乘岁数，如日度法而一，所得则行星度数也，余则度余也。
木：合终岁数，一千二百五十五。
合终合数，一千一百四十九。
合月法，二万一千八百三十一。
日度法，二百一十一万七千六百七。
合月数。一十三。
月余，一万一千一百二十二。
朔大余，二十三。
朔小余，四千九十三。
入月日，一十五。
日余，一百九十九万五千六百六十四。
朔虚分，四百六十六。
斗分，五十二万二千七百九十五。行星度，三十三。
度余，一百四十七万二千八百六十九。
火：合终岁数，五千一百五。
合终合数，二千三百八十八。
合月法，四万五千三百七十二。日度法，四百四十万一千八十四。
合月数，二十六。
月余，二万三。
朔大余，四十七。朔小余，三千六百二十七。
入月日，一十三。
日余，三百五十八万五千二百三十。朔虚分，九百三十二。
斗分，一百八万六千五百四十。行星度，五十。
度余，一百四十一万二千一百五十。
土：合终岁数，三千九百四十三。
合终合数，三千八百九。
合月法，七万二千三百七十一。
日度法，七百一万九千九百八十七。
合月数，一十二。
月余，五万八千一百五十三。
朔大余，五十四。
朔小余，一千六百七十四。
入月日，二十四。
日余，六十七万五千三百六十四。
朔虚分，二千八百八十五。
斗分，一百七十三万三千九十五。
行星度，一十二。
度余，五百九十六万二千二百五十六。
金：合终岁数，一千九百七。
合终合数，二千三百八十五。合月法，四万五千三百一十五。日度法，四百三十九万五千五百五十五。
合月数，九。
月余，四万三百一十。
朔大余，二十五。
朔小余，三千五百三十五。
入月日，二十七。
日余，十九万四千九百九十。
朔虚分，一千二十四。
斗分，一百八万五千一百七十五。
行星度，二百九十二。
度余，十九万四千九百九十。
水：合终岁数，一千八百七十。
合终合数，一万一千七百八十九。合月法，二十二万三千九百九十一。
日度法，二千一百七十二万七千一百二十七。
合月数，一。
月余，二十一万五千四百五十九。
朔大余，二十九。
朔小余，二千四百一十九。
入月日，二十八。
日余，二千三十四万四千二百六十一。
朔虚分，二千一百四十。
斗分，五百三十六万三千九百九十五。
行星度，五十七。
度余，二千三十四万千三百六十一。
推五星术曰：置壬辰元以来尽所求年，以合终合数乘之，满合终岁数得一，名积合，不尽名为合余。以合终合数减合余，得一者星合往年，得二者合前往年，无所得，合其年。余以减合终合数，为度分。金、水积合，偶为晨，奇为夕。
推五星合月：以月数、月余各乘积合，余满合月法从月，为积月，不尽为月余。以纪月除积月，所得算外，所入纪也，余为入纪月。副以章闰乘之，满章月得一为闰，以减入纪月，余以岁中去之，余为入岁月，命以天正起，算外，星合月也。其在闰交际，以朔御之。
推合月朔：以通数乘入纪月，满日法得一，为积日，不尽为小余。以六十去积日，余为大余，命以所入纪，算外，星合朔日也。推入月日：以通数乘月余，合月法乘朔小余，并之，通法约之，所得满日度法得一，则星合入月日也，不满日余。命日以朔，算外，入月日也。
推星合度：以周天乘度分，满日度法得一为度，不尽为余。命以牛前五度起，算外，星所合度也。求后全月：以月数加入岁月，以余加月余，余满合月法得一月。月不满岁中，即在其年；满去之，有闰计焉，余为后年；再满，在后二年。金、水加晨得夕，加夕得晨也。
求后合朔：以朔大、小余数加合朔月大、小余，其月余上成月者，又加大余二十九，小余二千四百一十九，小余满日法从大余，命如前法。
求后入月日：以入月日、日余加入月日及余，余满日度法得一。其前合朔小余满其虚分者，去一日；后小余满二千四百一十九以上，去二十九日；不满，去三十日，其余则后合入月日，命以朔。求后合度，以度数及分，如前合宿次命之。
木：晨与日合，伏，顺，十六日九十九万七千八百三十二分行星二度百七十九万五千二百三十八分，而晨见东方，在日后。顺，疾，日行五十七分之十一，五十七日行十一度。顺，迟，日行九分，五十七日行九度而留。不行二十七日而旋。逆，日行七分之一，八十四日退十二度而复留。二十七日复迟，日行九分，五十七日行九度而复顺。疾，日行十一分，五十七日行十一度，在日前，夕伏西方。顺，十六日九十九万七千八百三十二分行星二度百七十九万五千二百三十八分，而与日合。凡一终，三百九十八日百九十九万五千六百六十四分，行星三十三度百四十七万二千八百六十九分。火：晨与日合，伏，七十二日百七十九万二千六百一十五分行星五十六度百二十四万九千三百四十五分，而晨见东方，在日后。顺，日行二十三分之十四，百八十四日行百一十二度。更顺，迟，日行十二分，九十二日行四十八度而留。不行十一日而旋。逆，日行六十二分之十七，六十二日退十七度而复留。十一日复顺，迟，日行十二分，九十二日行四十八度而复疾。日行十四分，百八十四日行百一十二度，在日前，夕伏西方。顺，七十二日百七十九万二千六百一十五分行星五十六度百二十四万九千三百四十五分，而与日合。凡一终，七百八十日三百五十八万五千二百三十分，行星四百一十五度二百四十九万八千六百九十分。土：晨与日合，伏，十九日三百八十四万七千六百七十五分半行星二度六百四十九万一千一百二十一分半，而晨见东方，在日后。顺，行百七十二分之十三，八十六日行六度半而留。不行三十二日半而旋。逆，日行十七分之一，百二日退六度而复留。不行三十二日半复顺，日行十三分，八十六日行六度半，在日前，夕伏西方。顺，十九日三百八十四万七千六百七十五分半行星二度六百四十九万一千一百二十一分半，而与日合。凡一终，三百七十八日六十七万五千三百六十四分，行星十二度五百九十六万二千二百五十六分。
金：晨与日合，伏，六日退四度，而晨见东方，在日后而逆。迟，日行五分之三，十日退六度。留，不行七日而旋。顺，迟，日行四十五分之三十三，四十五日行三十三度而顺。疾，日行一度九十一分之十四，九十一日行百五度而顺。益疾，日行一度九十一分之二十一，九十一日行百一十二度，在日后，而晨伏东方。顺，四十二日十九万四千九百九十分行星五十二度十九万四千九百九十分，而与日合。一合，二百九十二日十九万四千九百九十分，行星如之。
金：夕与日合，伏，顺，四十二日十九万四千九百九十分行星五十二度十九万四千九百九十分，而夕见西方，在日前。顺，疾，日行一度九十一分之二十一，九十一日行百一十二度而更顺。迟，日行一度十四分，九十一日行百五度而顺。益迟，日行四十五分之三十三，四十五日行三十三度而留。不行七日而旋。逆，日行五分之三，十日退六度，在日前，夕伏西方。逆，六日退四度，而与日合。凡再合一终，五百八十四日三十八万九千九百八十分，行星如之。
水：晨与日合，伏，十一日退七度，而晨见东方，在日后。逆，疾，一日退一度而留。不行一日而旋。顺，迟，日行八分之七，八日行七度而顺。疾，日行一度十八分之四，十八日行二十二度，在日后，晨伏东方。顺，十八日二千三十四万四千二百六十一分行星三十六度二千三十四万四千二百六十一分，而与日合。凡一合，五十七日二千三十四万四千二百六十一分，行星如之。水：夕与日合，伏，十八日二千三十四万四千二百六十一分行星三十六度二千三十四万四千二百六十一分，而夕见西方，在日前。顺，疾，日行一度十八分之四，十八日行二十二度而更顺。迟，日行八分之七，八日行七度而留。不行一日而旋。逆，一日退一度，在日前，夕伏西方。逆，十一日退七度，而与日合。凡再合一终，百一十五日千八百九十六万一千三百九十五分，行星如之。
五星历步术
以法伏日度余加星合日度余，余满日度法得一从全，命之如前，得星见日及度余也。以星行分母乘见度分，如日度法得一，分不尽，半法以上亦得一，而日加所行分，分满其母得一度。逆顺母不同，以当行之母乘故分，如故母而一，当行分也。留者承前，逆则减之，伏不尽度，除斗分，以行母为率。分有损益，前后相御。武帝侍中平原刘智，以斗历改宪，推《四分法》，三百年而减一日，以百五十为度法，三十七为斗分。推甲子为上元，至泰始十年，岁在甲午，九万七千四百一十一岁，上元天正甲子朔夜半冬至，日月五星始于星纪，得元首之端。饰以浮说，名为《正历》。
当阳侯杜预著《春秋长历》，说云：
日行一度，月行十三度十九分之七有奇，日官当会集此之迟疾，以考成晦朔，以设闰月。闰月无中气，而北斗邪指两辰之间，所以异于他月。积此以相通，四时八节无违，乃得成岁，其微密至矣。得其精微，以合天道，则事叙而不愆。故《传》曰：“闰以正时，时以作事。”然阴阳之运，随动而差，差而不已，遂与历错。故仲尼、丘明每于朔闰发文，盖矫正得失，因以宣明历数也。
刘子骏造《三正历》以修《春秋》，日蚀有甲乙者三十四，而《三正历》惟得一蚀，比诸家既最疏。又六千余岁辄益一日，凡岁当累日为次，而故益之，此不可行之甚者。自古已来，诸论《春秋》者多违谬，或造家术，或用黄帝已来诸历，以推经传朔日，皆不谐合。日蚀于朔，此乃天验，《经传》又书其朔蚀，可谓得天，而刘贾诸儒说，皆以为月二日或三日，公违圣人明文，其弊在于守一元，不与天消息也。
余感《春秋》之事，尝著《历论》，极言历之通理。其大指曰：“天行不息，日月星辰各运其舍，皆动物也。物动则不一，虽行度有大量可得而限，累日为月，累月为岁，以新故相涉，不得不有毫末之差，此自然之理也。故春秋日有频月而蚀者，有旷年不蚀者，理不得一，而算守恒数，故历无不有先后也。始失于毫毛，而尚未可觉，积而成多，以失弦望晦朔，则不得不改宪以从之。《书》所谓“钦若昊天，历象日月星辰”，《易》所谓“治历明时”，言当顺天以求合，非为合以验天者也。推此论之，春秋二百余年，其治历变通多矣。虽数术绝灭，远寻《经传》微旨，大量可知，时之违谬，则《经传》有验。学者固当曲循《经传》月日、日蚀，以考晦朔，以推时验；而皆不然，各据其学，以推春秋，此无异于度己之迹，而欲削他人之足也。
余为《历论》之后，至咸宁中，善算者李修、卜显，依论体为术，名《干度历》，表上朝廷。其术合日行四分数而微增月行，用三百岁改宪之意，二元相推，七十余岁，承以强弱，强弱之差盖少，而适足以远通盈缩。时尚书及史官，以《干度》与《泰始历》参校古今记注，《干度历》殊胜《泰始历》，上胜官历四十五事。今其术具存。又并考古今十历以验《春秋》，知《三统》之最疏也。
《春秋》大凡七百七十九日，三百九十三《经》，三百八十六《传》。其三十七日食。三无甲乙。
《黄帝》历得四百六十六日，一蚀。
《颛顼历》得五百九日，八蚀。
《夏历》得五百三十六日，十四蚀。
《真夏历》得四百六十六日，一蚀。
《殷历》得五百三日，十三蚀。
《周历》得五百六日，十三蚀。
《真周历》得四百八十五日，一蚀。
《鲁历》得五百二十九日，十三蚀。
《三统历》得四百八十四日，一蚀。
《干象历》得四百九十五日，七蚀。
《泰始历》得五百一十日，十九蚀。
《干度历》得五百三十八日，十九蚀。
今《长历》得七百四十六日，三十三蚀。失三十三日，《经传》误；四日蚀，三无甲乙。
汉末，宋仲子集七历以考《春秋》，案其夏、周二历术数，皆与《艺文志》所记不同，故更名为《真夏》、《真周历》也。穆帝永和八年，著作郎琅邪王朔之造《通历》，以甲子为上元，积九万七千年，四千八百八十三为纪法，千二百五为斗分，因其上元为开辟之始。后秦姚兴时，当孝武太元九年，岁在甲申，天水姜岌造《三纪甲子元历》，其略曰：“治历之道，必审日月之行，然后可以上考天时，下察地化。一失其本，则四时变移。故仲尼之作《春秋》，日以继月，月以继时，时以继年，年以首事，明天时者人事之本，是以王者重之。自皇羲以降，暨于汉魏，各自制历，以求厥中。考其疏密，惟交会薄蚀可以验之。然书契所记，惟《春秋》著日蚀之变，自隐公讫于哀公，凡二百四十二年之间，日蚀三十有六，考其晦朔，不知用何历也。班固以为《春秋》因《鲁历》，《鲁历》不正，故置闰失其序。鲁以闰余一之岁为蔀首，检《春秋》置闰不与此蔀相符也。《命历序》曰：孔子为治《春秋》之故，退修殷之故历，使其数可传于后。如是，《春秋》宜用《殷历》正之。今考其交会，不与《殷历》相应，以《殷历》考《春秋》，月朔多不及其日，又以检《经》，率多一日，《传》率少一日。但《公羊》、《经》、《传》异朔，于理可从，而《经》有蚀朔之验，《传》为失之也。服虔解《传》用太极上元，太极上元乃《三统历》刘歆所造元也，何缘施于《春秋》？于《春秋》而用《汉历》，于义无乃远乎？《传》之违失多矣，不惟斯事而已。襄公二十七年冬十有一月乙亥朔，日有蚀之。《传》曰：‘辰在申，司历过，再失闰也。’考其去交分，交会应在此月，而不为再失闰也。案歆历于《春秋》日蚀一朔，其余多在二日。因附《五行传》，著朓与侧匿之说云：春秋时诸侯多失其政，故月行恒迟。歆不以历失天，而为之差说。日之食朔，此乃天验也，而歆反以历非此，冤天而负时历也。杜预又以为周衰世乱，学者莫得其真，今之所传七历，皆未必是时王之术也。今诚以七家之历，以考古今交会，信无其验也，皆由斗分疏之所致也。《殷历》以四分一为斗分，《三统》以一千五百三十九分之三百八十五为斗分，《干象》以五百八十九分之一百四十五为斗分，今《景初》以一千八百四十三分之四百五十五为斗分，疏密不同，法数各异。《殷历》斗分粗，故不施于今。《干象》斗分细，故不得通于古。《景初》斗分虽在粗细之中，而日之所在乃差四度，日月亏已，皆不及其次，假使日在东井而蚀，以月验之，乃在参六度，差违乃尔，安可以考天时人事乎？今治新历，以二千四百五十一分之六百五为斗分，日在斗十七度，天正之首，上可以考合于《春秋》，下可以取验于今世。以之考《春秋》三十六蚀，正朔者二十有五，蚀二日者二，蚀晦者二，误者五，凡三十三蚀，其余蚀经无日讳之名，无以考其得失。图纬皆云“三百岁斗历改宪”。以今新施于春秋之世，日蚀多在朔，春秋之世，下至于今，凡一千余岁，交会弦望故进退于三蚀之间，此法乃可永载用之，岂三百岁斗历改宪者乎？
甲子上元以来，至鲁隐公元年已未岁，凡八万二千七百三十六，至晋孝武太元九年甲申岁，凡八万三千八百四十一，算上。
元法，七千三百五十三。纪法，二千四百五十一。
通数，十七万九千四十四。日法，六千六十二。
月周，三万二千七百六十六。
气分，万二千八百六十。
元月，九万九百四十五。
纪月，三万三百一十五。
没分，四万四千七百六十一。
没法，六百四十三。
斗分，六百五。
周天，八十九万五千二百二十。一名纪日。
章月，二百三十五。
章岁，十九。
章闰，七。
岁中，十二。
会数，四十七。日月八百九十三岁，凡四十七会，分尽。
气中，十二。
甲子纪交差，九千一百五十七。
甲申纪交差，六千三百三十七。
甲辰纪交差，三千五百一十七。
周半，一百二十七。
朔望合数，九百四十一。会岁，八百九十三。
会月，万一千四十五。
小分，二千一百九十六。章数，一百二十九。小分，二千一百八十三。
周闰大分，七万六千二百六十九。
历周，四十四万七千六百一十。半周天
会分，三万八千一百三十四。差分，一万一千九百八十六。会率，一千八百八十二。
小分法，二千二百九。
入交限，一万一百四。
小周，二百五十四。
甲子纪差率，四万九千一百七十八。甲申纪差率，五万八千二百三十一。
甲辰纪差率，六万七千二百八十四。
通周，十六万七千六十三。
周日日余，三千三百六十二。周虚，二千七百一。
五星约法，据出见以为正，不系于元本。然则算步究于元初，约法施于今用，曲求其趣，则各有宜，故作者两设其法也。岌以月食检日宿度所在，为历术者宗焉。又著《浑天论》，以步日于黄道，驳前儒之失，并得其中矣。